Description

你有一堆黑白球和一个盒子，
一开始，盒子里有n个不知道颜色的球，
接下来，你要对盒子进行m次操作：
1. 随机从盒子里取出一个球；
2. 往盒子里放一黑一白俩球；
3. 再随机从盒子里取出一个球；

这样你总共会拿出2m个球，
求拿出的这些球有多少总可能（有序），

Solution

首先，盒子里总会有n个球，
设DP：f[i][j]表示，做了i次操作，剩余的球有j个为黑色的取出方案数，
初始化为f[0][1..n]=1,
转移（0为黑）：
00：要求$j>0$，转移到j-1；
01：要求$j>0$，转移到j；
10：要求$j<n$，转移到j；
11：要求$j<n$，转移到j+1；

显然，这样会算重，只要你没有卡住上下界总会算多几次，
发现，算多的部分恰好为n-1时的答案
也就是最后的答案为DP(n,m)-DP(n-1,m)

复杂度：$O(nm)$

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=3500,mo=1e9+7;
int m,n;
int f[N][N];
int DP(int n,int m)
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    fo(i,0,n)f[0][i]=1;
    fo(i,1,m)fo(j,0,n)
    {
        if(j<n)((f[i][j]+=f[i-1][j+1])>=mo?f[i][j]-=mo:0),((f[i][j]+=f[i-1][j])>=mo?f[i][j]-=mo:0);
        if(j)((f[i][j]+=f[i-1][j])>=mo?f[i][j]-=mo:0),((f[i][j]+=f[i-1][j-1])>=mo?f[i][j]-=mo:0);
    }
    int ans=0;
    fo(i,0,n)((ans+=f[m][i])>=mo?ans-=mo:0);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%d\n",(DP(n,m)-DP(n-1,m)+mo)%mo);
    return 0;
}